聚类算法——k均值和层次聚类

来源：数学建模andMATLAB评论5,023
看看下面这张图，有各种各样的虫子和蜗牛，你试试将它们分成不同的组别？

完成了吗？尽管这里并不一定有所谓的「正确答案」，但一般来说我们可以将这些虫子分成四组：蜘蛛、蜗牛、蝴蝶/飞蛾、蜜蜂/黄蜂。

很简单吧？即使虫子数量再多一倍你也能把它们分清楚，对吗？你只需要一点时间以及对昆虫学的热情就够了——其实就算有成千上万只虫子你也能将它们分开。

但对于一台机器而言，将这 10 个对象分类成几个有意义的分组却并不简单——我们知道对于这 10 只虫子，我们可以有 115,975 种不同的分组方式。如果虫子数量增加到 20，那它们可能的分组方法将超过 50 万亿种。要是虫子数量达到 100，那可能的方案数量将超过已知宇宙中的粒子的数量。超过多少呢？据我计算，大约多 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 倍，已是难以想象的超天文数字！

而我们人类可以做得很快，我们往往会把自己快速分组和理解大量数据的能力看作是理所当然。不管那是一段文本，还是屏幕上图像，或是对象序列，人类通常都能有效地理解自己所面对的数据。

鉴于人工智能和机器学习的关键就是快速理解大量输入数据，那在开发这些技术方面有什么捷径呢？在本文中，你将阅读到两种聚类算法——k-均值聚类和层次聚类，机器可以用其来快速理解大型数据集。

K-均值聚类（K-means clustering）

何时使用？

当你事先知道你将找到多少个分组的时候。

工作方式

该算法可以随机将每个观测值（observation）分配到 k 类中的一类，然后计算每个类的平均。接下来，它重新将每个观测值分配到与其最接近的均值的类别，然后再重新计算其均值。这一步不断重复，直到不再需要新的分配为止。

有效案例

假设有一组 9 位足球运动员，他们中每个人都在这一赛季进了一定数量的球（假设在 3-30 之间）。然后我们要将他们分成几组——比如 3 组。

第一步：需要我们将这些运动员随机分成 3 组并计算每一组的均值。

  1. 第 1 组
  2. 运动员 A（5 个球）、运动员 B（20 个球）、运动员 C（11 个球）
  3. 该组平均=(5 + 20 + 11) / 3 = 12
  4. 第 2 组
  5. 运动员 D（5 个球）、运动员 E（9 个球）、运动员 F（19 个球）
  6. 该组平均=11
  7. 第 3 组
  8. 运动员 G（30 个球）、运动员 H（3 个球）、运动员 I（15 个球）
  9. 该组平均=16
第二步：对于每一位运动员，将他们重新分配到与他们的分数最接近的均值的那一组；比如，运动员 A（5 个球）被重新分配到第 2 组（均值=11）。然后再计算新的均值。

  1. 第 1 组（原来的均值=12）
  2. 运动员 C（11 个球）、运动员 E（9 个球）
  3. 新的平均=(11 + 9) / 2 = 10
  4. 第 2 组（原来的均值=11）
  5. 运动员 A（5 个球）、运动员 D（5 个球）、运动员 H（3 个球）
  6. 新的平均=4.33
  7. 第 3 组（原来的均值=16）
  8. 运动员 B（20 个球）、运动员 F（19 个球）、运动员 G（30 个球）、运动员 I（15 个球）
  9. 新的平均=21
不断重复第二步，直到每一组的均值不再变化。对于这个简单的任务，下一次迭代就能达到我们的目标。现在就完成了，你已经从原数据集得到了 3 个聚类！

  1. 第 1 组（原来的均值=10）
  2. 运动员 C（11 个球）、运动员 E（9 个球）、运动员 I（15 个球）
  3. 最终平均=11.3
  4. 第 2 组（原来的均值=4.33）
  5. 运动员 A（5 个球）、运动员 D（5 个球）、运动员 H（3 个球）
  6. 最终平均=4.33
  7. 第 3 组（原来的均值=21）
  8. 运动员 B（20 个球）、运动员 F（19 个球）、运动员 G（30 个球）、
  9. 最终平均=23
通过这个例子，该聚类可能能够对应这些运动员在球场上的位置——比如防守、中场和进攻。K-均值在这里有效，是因为我们可以合理地预测这些数据会自然地落到这三个分组中。

以这种方式，当给定一系列表现统计的数据时，机器就能很好地估计任何足球队的队员的位置——可用于体育分析，也能用于任何将数据集分类为预定义分组的其它目的的分类任务。

更加细微的细节：

上面所描述的算法还有一些变体。最初的「种子」聚类可以通过多种方式完成。这里，我们随机将每位运动员分成了一组，然后计算该组的均值。这会导致最初的均值可能会彼此接近，这会增加后面的步骤。

另一种选择种子聚类的方法是每组仅一位运动员，然后开始将其他运动员分配到与其最接近的组。这样返回的聚类是更敏感的初始种子，从而减少了高度变化的数据集中的重复性。但是，这种方法有可能减少完成该算法所需的迭代次数，因为这些分组实现收敛的时间会变得更少。

K-均值聚类的一个明显限制是你必须事先提供预期聚类数量的假设。目前也存在一些用于评估特定聚类的拟合的方法。比如说，聚类内平方和（Within-Cluster Sum-of-Squares）可以测量每个聚类内的方差。聚类越好，整体 WCSS 就越低。

层次聚类（Hierarchical clustering）

何时使用？

当我们希望进一步挖掘观测数据的潜在关系，可以使用层次聚类算法。

工作方式

首先我们会计算距离矩阵（distance matrix），其中矩阵的元素（i，j）代表观测值 i 和 j 之间的距离度量。然后将最接近的两个观察值组为一对，并计算它们的平均值。通过将成对观察值合并成一个对象，我们生成一个新的距离矩阵。具体合并的过程即计算每一对最近观察值的均值，并填入新距离矩阵，直到所有观测值都已合并。

有效案例：

以下是关于鲸鱼或海豚物种分类的超简单数据集。作为受过专业教育的生物学家，我可以保证通常我们会使用更加详尽的数据集构建系统。现在我们可以看看这六个物种的典型体长。本案例中我们将使用 2 次重复步骤。

  1. Species                   Initials  Length(m)
  2. Bottlenose Dolphin     BD        3.0
  3. Risso's Dolphin           RD        3.6
  4. Pilot Whale                 PW        6.5
  5. Killer Whale                KW        7.5
  6. Humpback Whale       HW       15.0
  7. Fin Whale                   FW       20.0
步骤一：计算每个物种之间的距离矩阵，在本案例中使用的是欧氏距离（Euclidean distance），即数据点（data point）间的距离。你可以像在道路地图上查看距离图一样计算出距离。我们可以通过查看相关行和列的交叉点值来查阅任一两物种间的长度差。

  1.        BD   RD   PW   KW   HW
  2. RD  0.6                    
  3. PW  3.5  2.9               
  4. KW  4.5  3.9  1.0          
  5. HW 12.0 11.4  8.5  7.5     
  6. FW 17.0 16.4 13.5 12.5  5.0
步骤二：将两个距离最近的物种挑选出来，在本案例中是宽吻海豚和灰海豚，他们平均体长达到了 3.3m。重复第一步，并再一次计算距离矩阵，但这一次将宽吻海豚和灰海豚的数据使用其均值长度 3.3m 代替。

  1. [BD, RD]   PW   KW   HW
  2. PW           3.2               
  3. KW           4.2   1.0          
  4. HW          11.7   8.5  7.5     
  5. FW          16.7  13.5 12.5  5.0
接下来，使用新的距离矩阵重复步骤二。现在，最近的距离成了领航鲸与逆戟鲸，所以我们计算其平均长度（7.0m），并合并成新的一项。

随后我们再重复步骤一，再一次计算距离矩阵，只不过现在将领航鲸与逆戟鲸合并成一项且设定长度为 7.0m。

  1. [BD, RD] [PW, KW]   HW
  2. [PW, KW]      3.7              
  3. HW              11.7      8.0     
  4. FW              16.7     13.0   5.0
我们再一次使用现在的距离矩阵重复步骤 2。最近的距离（3.7m）出现在两个已经合并的项，现在我们将这两项合并成为更大的一项（均值为 5.2m）。

  1. [[BD, RD] , [PW, KW]]    HW
  2. HW                      9.8    
  3. FW                    14.8   5.0
紧接着，我们再一次重复步骤 2，最小距离（5.0m）出现在座头鲸与长须鲸中，所以继续合并它们为一项，并计算均值（17.5m）。

返回到步骤 1，计算新的距离矩阵，其中座头鲸与长须鲸已经合并为一项。

  1. [[BD, RD] , [PW, KW]]
  2. [HW, FW]                    12.3
最后，重复步骤 2，距离矩阵中只存在一个值（12.3m），我们将所有的都合成为了一项，并且现在可以停止这一循环过程。先让我们看看最后的合并项。

  1. [[[BD, RD],[PW, KW]],[HW, FW]]
现在其有一个嵌套结构（参考 JSON），该嵌套结构能绘制成一个树状图。其和家族系谱图的读取方式相近。在树型图中，两个观察值越近，它们就越相似和密切相关。

聚类算法——k均值和层次聚类-图片1
通过树型图的结构，我们能更深入了解数据集的结构。在上面的案例中，我们看到了两个主要的分支，一个分支是 HW 和 FW，另一个是 BD、RD、PW、KW。

在生物进化学中，通常会使用包含更多物种和测量的大型数据集推断这些物种之间的分类学关系。在生物学之外，层次聚类也在机器学习和数据挖掘中使用。

重要的是，使用这种方法并不需要像 K-均值聚类那样设定分组的数量。你可以通过给定高度「切割」树型以返回分割成的集群。高度的选择可以通过几种方式进行，其取决于我们希望对数据进行聚类的分辨率。

例如上图，如果我们在高度等于 10 的地方画一条线，就将两个主分支切开分为两个子图。如果我们从高度等于 2 的地方分割，就会生成三个聚类。

更多细节：

对于这里给出的层次聚类算法（hierarchical clustering algorithms），其有三个不同的方面。

最根本的方法就是我们所使用的集聚（agglomerative）过程，通过该过程，我们从单个数据点开始迭代，将数据点聚合到一起，直到成为一个大型的聚类。另外一种（更高计算量）的方法从巨型聚类开始，然后将数据分解为更小的聚类，直到独立数据点。

还有一些可以计算距离矩阵的方法，对于很多情况下，欧几里德距离（参考毕达哥拉斯定理）就已经够了，但还有一些可选方案在特殊的情境中更加适用。

最后，连接标准（linkage criterion）也可以改变。聚类根据它们不同的距离而连接，但是我们定义「近距离」的方式是很灵活的。在上面的案例中，我们通过测量每一聚类平均值（即形心（centroid））之间的距离，并与最近的聚类进行配对。但你也许会想用其他定义。

例如，每个聚类有几个离散点组成。我们可以将两个聚类间的距离定义为任意点间的最小（或最大）距离，就如下图所示。还有其他方法定义连接标准，它们可能适应于不同的情景。

聚类算法——k均值和层次聚类-图片2
红/蓝：形心连接；红/绿：最小连接；绿/蓝：最大连接

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