1. PCA的思想
PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，$u_1$和$u_2$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，$u_1$比$u_2$好。
为什么$u_1$比$u_2$好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。
假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。
基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。
2. PCA的推导:基于最小投影距离
我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。
假设m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化，即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中$w$是标准正交基，即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$。
如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$,样本点$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为：$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})^T$.其中，$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$是$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。
如果我们用$z^{(i)}$来恢复原始数据$x^{(i)}$,则得到的恢复数据$\overline{x}^{(i)} = \sum\limits_{j=1}^{n'}z_j^{(i)}w_j = Wz^{(i)}$,其中，W为标准正交基组成的矩阵。
现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：$$\sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2$$
将这个式子进行整理，可以得到:
$$ \begin{align} \sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 & = \sum\limits_{i=1}^{m}|| Wz^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^T(Wz^{(i)}) - 2\sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^Tx^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}W^Tx^{(i)} +\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = - \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^T（\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T})W) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^TXX^TW) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \end{align}$$
其中第（1）步用到了$\overline{x}^{(i)}=Wz^{(i)} $,第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式$(AB)^T =B^TA^T$和$W^TW=I$,第（4）步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。
注意到$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}$是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量$w_j$是标准正交基。而$\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}$是一个常量。最小化上式等价于：$$\underbrace{arg\;min}_{W}\;-tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$
这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵$XX^T$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = -tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I))$$
对W求导有$-XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为：$$XX^TW=\lambda W$$
这样可以更清楚的看出，W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而$\lambda$为$XX^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。
如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。
3. PCA的推导:基于最大投影方差
现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。
假设m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化，即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$。经过投影变换后得到的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中$w$是标准正交基，即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$。
如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$,样本点$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为：$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})^T$.其中，$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$是$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。
对于任意一个样本$x^{(i)}$，在新的坐标系中的投影为$W^Tx^{(i)}$,在新坐标系中的投影方差为$W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化$ \sum\limits_{i=1}^{m}W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$的迹,即：$$\underbrace{arg\;max}_{W}\;tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I$$
观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。
利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I))$$
对W求导有$XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为：$$XX^TW=（-\lambda）W$$
和上面一样可以看出，W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而$-\lambda$为$XX^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。
4. PCA算法流程
从上面两节我们可以看出，求样本$x^{(i)}$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵$XX^T$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本$x^{(i)}$,做如下变换$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，即达到降维的PCA目的。
下面我们看看具体的算法流程。
输入：n维样本集$D=(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$，要降维到的维数n'.
输出：降维后的样本集$D'$
1) 对所有的样本进行中心化： $x^{(i)} = x^{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m} x^{(j)}$
2) 计算样本的协方差矩阵$XX^T$
3) 对矩阵$XX^T$进行特征值分解
4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量$(w_1,w_2,...,w_{n'})$, 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
5）对样本集中的每一个样本$x^{(i)}$,转化为新的样本$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$
6) 得到输出样本集$D' =(z^{(1)}, z^{(2)},...,z^{(m)})$
有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$,则n'可以通过下式得到:$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i} \geq t $$
5. PCA实例
下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。
假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。
首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值向量后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。
现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：
$$\mathbf{XX^T} =
\left( \begin{array}{ccc}
cov(x_1,x_1) & cov(x_1,x_2)\\
cov(x_2,x_1) & cov(x_2,x_2) \end{array} \right)$$
对于我们的数据，求出协方差矩阵为：
$$\mathbf{XX^T} =
\left( \begin{array}{ccc}
0.616555556 & 0.615444444\\
0.615444444 & 0.716555556 \end{array} \right)$$
求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：$(0.735178656, 0.677873399)^T\;\; (-0.677873399, -0.735178656)^T$,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为$(-0.677873399, -0.735178656)^T$. 则我们的W=$(-0.677873399, -0.735178656)^T$
我们对所有的数据集进行投影$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)
6. 核主成分分析KPCA介绍
在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<n<N。
使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射$\phi$产生。
则对于n维空间的特征分解：$$ \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}W=\lambda W$$
映射为：$$ \sum\limits_{i=1}^{m}\phi(x^{(i)})\phi(x^{(i)})^TW=\lambda W$$
通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射$\phi$不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。
7. PCA算法总结
这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。
PCA算法的主要优点有：
1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。
PCA算法的主要缺点有：
1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。