[深度学习笔记1]Logistic回归：最基础的神经网络

个人认为理解并掌握这个logistic regression是学习神经网络和深度学习最重要的部分，也是最基础的部分，学完这个再去看浅层神经网络、深层神经网络，会发现后者就是logistic重复了若干次（当然一些细节会有不同，但是原理上一模一样）。

一、什么是logictic regression

下面的图是Andrew Ng提供的一个用logistic regression来识别主子的图片的算法结构示意图：

Logistic Regression

左边的x0到x12287是输入（input），我们称之为特征（feather），常常用列向量x(i)来表示（这里的i代表第i个训练样本,下面在只讨论一个样本的时候，就暂时省略这个标记，免得看晕了-_-|||），在图片识别中，特征通常是图片的像素值，把所有的像素值排成一个序列就是输入特征，每一个特征都有自己的一个权重（weight），就是图中连线上的w0到w12287，通常我们也把左右的权重组合成一个列向量W。

中间的圆圈，我们可以叫它一个神经元，它接收来自左边的输入并乘以相应的权重,再加上一个偏置项b（一个实数），所以最终接收的总输入为：

x0w0 x1w1 ... x12287w12287 b=WTx b

但是这个并不是最后的输出，就跟神经元一样，会有一个激活函数（activation function）来对输入进行处理，来决定是否输出或者输出多少。Logistic Regression的激活函数是sigmoid函数，介于0和1之间，中间的斜率比较大，两边的斜率很小并在远处趋于零。长这样（记住函数表达式）：

sigmoid function

我们用y\'来表示该神经元的输出，σ()函数代表sigmoid，则可知：

y\' = σ(WTx b)

这个y\'可以看做是我们这个小模型根据输入做出的一个预测，在最开始的图对应的案例中，就是根据图片的像素在预测图片是不是猫。

与y\'对应的，每一个样本x都有自己的一个真实标签y，y=1代表图片是猫，y=0代表不是猫。我们希望模型输出的y\'可以尽可能的接近真实标签y，这样，这个模型就可以用来预测一个新图片是不是猫了。所以，我们的任务就是要找出一组W，b，使得我们的模型y\' = σ(WTx b)可以根据给定的x，正确地预测y。在此处，我们可以认为，只要算出的y\'大于0.5，那么y\'就更接近1，于是可以预测为“是猫”，反之则“不是猫”。

以上就是Logistic Regression的基本结构说明。

二、怎么学习W和b

前面其实提到过了，我们需要学习到的W和b可以让模型的预测值y\'与真实标签y尽可能地接近，也就是y\'和y的差距尽量地缩小。因此，我们可以定义一个损失函数（Loss function），来衡量y\'和y的差距：

L(y\',y) = -[y·log(y\') (1-y)·log(1-y\')]

可以暂时忽略后面这个看似复杂其实不复杂的表达式，只记住损失函数是L(y\',y)就行了。

如何说明这个式子适合当损失函数呢？且看：

• 当y=1时，L(y\',y)=-log(y\')，要使L最小，则y\'要最大，则y\'=1；
• 当y=0时，L(y\',y)=-log(1-y\')，要使L最小，则y\'要最小，则y\'=0.

如此，便知L(y\',y)符合我们对损失函数的期望，因此适合作为损失函数。

我们知道，x代表一组输入，相当于是一个样本的特征。但是我们训练一个模型会有很多很多的训练样本，也就是有很多很多的x，就是会有x(1)，x(2)，...，x(m) 共m个样本，它们可以写成一个大X 行向量：

X = (x(1)，x(2)，...，x(m) )

对应的样本的真实标签Y（也是行向量）：

Y = (y(1)，y(2)，...，y(m) )

通过我们的模型计算出的y\'们也可以组成一个行向量：

Y\' = (y\'(1)，y\'(2)，...，y\'(m) )

前面讲的损失函数L,对每个x都有，因此在学习模型的时候，我们需要看所有x的平均损失，因此定义一个代价函数（Cost function）：

J(W,b) = 1/m·Σmi=1L(y\'(i),y(i)) 代表所有训练样本的平均损失。

因此，我们的学习任务就可以用一句话来表述：

Find W,b that minimize J(W,b)

Minimize。。。说起来简单做起来难，好在我们有计算机，可以帮我们进行大量重复地运算，于是在神经网络中，我们一般使用梯度下降法（Gradient Decent）：

梯度下降法

这个方法通俗一点就是，先随机在曲线上找一个点，然后求出该点的斜率，也称为梯度，然后顺着这个梯度的方向往下走一步，到达一个新的点之后，重复以上步骤，直到到达最低点（或达到我们满足的某个条件）。

如，对w进行梯度下降，则就是重复一下步骤（重复一次称为一个迭代）：

w := w - α(dJ/dw)

其中:=代表“用后面的值更新”，α代表“学习率（learning rate）”，dJ/dw就是J对w求偏导。

回到我们的Logistic Regression问题，就是要初始化（initializing）一组W和b，并给定一个学习率，指定要迭代的次数（就是你想让点往下面走多少步），然后每次迭代中求出w和b的梯度，并更新w和b。最终的W和b就是我们学习到的W和b，把W和b放进我们的模型y\' = σ(WTx b)中，就是我们学习到的模型，就可以用来进行预测了！

总结一下：

• Logistic Regression模型：y\' = σ(WTx b)，记住使用的激活函数是sigmoid函数。
• 损失函数：L(y\',y) = -[y·log(y\') (1-y)·log(1-y\')]衡量预测值y\'与真实值y的差距，越小越好。
• 代价函数：损失均值，J(W,b) = 1/m·Σmi=1L(y\'(i),y(i))，是W和b的函数，学习的过程就是寻找W和b使得J(W,b)最小化的过程。求最小值的方法是用梯度下降法。
• 训练模型的步骤：

1. 初始化W和b
2. 指定learning rate和迭代次数
3. 每次迭代，根据当前W和b计算对应的梯度（J对W，b的偏导数），然后更新W和b
4. 迭代结束，学得W和b，带入模型进行预测，分别测试在训练集合测试集上的准确率，从而评价模型