随机抽样一致性算法（RANSAC）

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作者：王先荣

本文翻译自维基百科，英文原文地址是：http://en.wikipedia.org/wiki/ransac，如果您英语不错，建议您直接查看原文。

RANSAC是“RANdom SAmple Consensus（随机抽样一致）”的缩写。它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。

RANSAC的基本假设是：

（1）数据由“局内点”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；

（2）“局外点”是不能适应该模型的数据；

（3）除此之外的数据属于噪声。

局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。

RANSAC也做了以下假设：给定一组（通常很小的）局内点，存在一个可以估计模型参数的过程；而该模型能够解释或者适用于局内点。

本文内容

  1. 示例
  2. 概述
  3. 算法
  4. 参数
  5. 优点与缺点
  6. 应用
  7. 参考文献
  8. 外部链接

一、示例

一个简单的例子是从一组观测数据中找出合适的2维直线。假设观测数据中包含局内点和局外点，其中局内点近似的被直线所通过，而局外点远离于直线。简单的最小二乘法不能找到适应于局内点的直线，原因是最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，我们必须小心的选择算法的参数。
随机抽样一致性算法（RANSAC）-图片1随机抽样一致性算法（RANSAC）-图片1
左图：包含很多局外点的数据集       右图：RANSAC找到的直线（局外点并不影响结果）

二、概述

RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。

RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：

  1. 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
  2. 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
  3. 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
  4. 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
  5. 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。

这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

三、算法

伪码形式的算法如下所示：

输入：

data —— 一组观测数据

model —— 适应于数据的模型

n —— 适用于模型的最少数据个数

k —— 算法的迭代次数

t —— 用于决定数据是否适应于模型的阀值

d —— 判定模型是否适用于数据集的数据数目

输出：

best_model —— 跟数据最匹配的模型参数（如果没有找到好的模型，返回null）

best_consensus_set —— 估计出模型的数据点

best_error —— 跟数据相关的估计出的模型错误

iterations = 0

best_model = null

best_consensus_set = null

best_error = 无穷大

while ( iterations < k )

maybe_inliers = 从数据集中随机选择n个点

maybe_model = 适合于maybe_inliers的模型参数

consensus_set = maybe_inliers
for ( 每个数据集中不属于maybe_inliers的点 ）
if ( 如果点适合于maybe_model，且错误小于t ）
将点添加到consensus_set
if （ consensus_set中的元素数目大于d ）
已经找到了好的模型，现在测试该模型到底有多好
better_model = 适合于consensus_set中所有点的模型参数
this_error = better_model究竟如何适合这些点的度量
if ( this_error < best_error )
我们发现了比以前好的模型，保存该模型直到更好的模型出现
best_model =  better_model
best_consensus_set = consensus_set
best_error =  this_error

增加迭代次数

返回 best_model, best_consensus_set, best_error

RANSAC算法的可能变化包括以下几种：

（1）如果发现了一种足够好的模型（该模型有足够小的错误率），则跳出主循环。这样可能会节约计算额外参数的时间。

（2）直接从maybe_model计算this_error，而不从consensus_set重新估计模型。这样可能会节约比较两种模型错误的时间，但可能会对噪声更敏感。

四、参数

我们不得不根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数t和d。然而参数k（迭代次数）可以从理论结果推断。当我们从估计模型参数时，用p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此p也表征了算法产生有用结果的概率。用w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：

w = 局内点的数目 / 数据集的数目

通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，wn是所有n个点均为局内点的概率；1 − wn是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wn)k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，
1 − p = (1 − wn)k

我们对上式的两边取对数，得出
随机抽样一致性算法（RANSAC）-图片2

值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从上图中的数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。

为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：

    随机抽样一致性算法（RANSAC）-图片3五、优点与缺点

RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。

RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

六、应用

RANSAC算法经常用于计算机视觉，例如同时求解相关问题与估计立体摄像机的基础矩阵。

七、参考文献

八、外部链接

九、后话

本文在翻译的过程中参考了沈乐君的文章《随机抽样一致性算法RANSAC源程序和教程》。Ziv Yaniv已经用C++实现了RANSAC，您可以点击这里下载源程序。

不过，如果时间允许的话，我打算自己动手用C#去实现RANSAC算法，原因有两个：

（1）熟悉算法的最佳途径是自己去实现它；

（2）方便使用.net的同志们利用RANSAC。

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